（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，

即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形

是平行四边形即可判断出EGFH的性质；
（2）当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，

故四边形EGFH是菱形；
（3）当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，

故结论同（2）；
（4）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，

则对角线相等且互相垂直平分；可通过证△BOG≌△COF，

得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，

根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．

解：（1）四边形EGFH是平行四边形

      证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，
     ∴点O是▱ABCD的对称中心；
     ∴EO=FO，GO=HO；
     ∴四边形EGFH是平行四边形

四边形EGFH是正方形

证明：∵AC=BD，
∴▱ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，
∴▱ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG=OF，同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
由（3）知四边形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四边形EGFH是正方形．