1.解：AP=PE 理由如下：
在AB上截取线段BG，使BG=BE
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC  ∠B=∠DCB=90°
∵PC平分∠DCB的外角 ∴∠DCP=45°
∴∠ECP=135°
∵BG=BE ∠B=90°
∴∠BGE=45°
∴∠AGE=135°
∴∠ECP=∠BGE
∵AB=BC   BG=BE
∴AG=CE
∵∠B=90°
∴∠BAE+∠AEB=90°
∵AE⊥PE
∴∠AEP=90°
∴∠AEB+∠PEC=90°
∴∠BAE=∠PEC
∵AG=EC  ∠AGE=∠ECP
∴△AGE≌△ECP
∴AE=EP

存在，证明过程如下：
在AB上截取线段AM，使AM=BE
因为ABCD为正方形，则AD=AB
所以△ABE≌△DAM，则DM=AE=EP,
设DM与AE交点N,在三角形ANM中，角NMA+角NAM=90°
所以角ANM=90°，则AN垂直NM,即AE垂直DM,
因为AE垂直EP,则DM‖EP,又因为DM=EP,
所以在四边形DMEP中，DM‖=EP，则四边形DMEP是平行四边形。