1、连接AC，BD

∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N

∴PN=1/2BD，MQ=1/2BD

MN=1/AC，PQ=1/2AC

∴PN=MQ，MN=PQ

∴PQMN为平行四边形

2、①连接AC、BD

∵△ADE和△BCE都是等边三角形

∴BE=CE，DE=AE

∠AED=∠BEC=60°

∴∠AED+∠DCE=∠DCE+∠BEC

即∠AEC=∠DEB

∴△AEC≌△DEB(SAS)

∴AC=BD

∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N

∴PN=1/2BD，MQ=1/2BD

MN=1/AC，PQ=1/2AC

∴PN=MQ=MN=PQ

∴PQMN菱形

②做CH⊥BE于H，

∵△BCE是等边三角形，那么BH=EH=1/2BE=3/2

∴CH²=BC²-BH²=3²-(3/2)²=27/4

AH=AE+EH=6+3/2=15/2

∴AC²=AH²+CH²=(15/2)²+27/4=252/4=63

AC=3√7

∴PN=MQ=MN=PQ=1/2AC=3√7/2

∴四边形PQMN的周长=4PN=4×3√7/2=6√7