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疑难解答：

学员在学习中遇到问题，在这里能得到及时的解决。有问题随时提问，老师解答及时，不留学习盲点。有不懂的题目问老师，逐渐养成独立解决问题的能力。

年级	科目	问题描述	提问时间
六年级	数学	六年级奥数	2014-07-18 21:28:17
能被5除尽，被715除余10，被247除余140，被391除余245，被187除余109的最小整数是多少？
学点点闵老师 2014-07-19 09:38:06
条件写为: 被5整除, 被5·11·13除余10, 被13·19除余140, 被17·23除余245, 被11·17除余109. 可以重写为: 被5整除, 被11除余10, 被13除余10, 被17除余7, 被19除余7, 被23除余15. 对于除数5, 11, 13, 17, 19, 23, 求被其中一个除余1, 同时被其它数整除的数. 11·13·17·19·23 ≡ 1·3·2·(-1)·(-2) ≡ 2 (mod 5), 因此3·11·13·17·19·23 ≡ 3·2 ≡ 1 (mod 5), 记a = 3·11·13·17·19·23. 5·13·17·19·23 ≡ 5·2·6·(-3)·1 ≡ -4 (mod 11), 因此-3·5·13·17·19·23 ≡ (-3)·(-4) ≡ 1 (mod 11), 记b = -3·5·13·17·19·23. 5·11·17·19·23 ≡ 5·(-2)·4·6·(-3) ≡ 5 (mod 13), 因此-5·5·11·17·19·23 ≡ (-5)·5 ≡ 1 (mod 13), 记c = -5·5·11·17·19·23. 5·11·13·19·23 ≡ 5·(-6)·(-4)·2·6 ≡ -5 (mod 17), 因此-7·5·11·13·19·23 ≡ (-7)·(-5) ≡ 1 (mod 17), 记d = -7·5·11·13·19·23. 5·11·13·17·23 ≡ 5·(-8)·(-6)·(-2)·4 ≡ -1 (mod 19), 因此-5·11·13·17·23 ≡ 1 (mod 19), 记e = -5·11·13·17·23. 5·11·13·17·19 ≡ 5·11·(-10)·(-6)·(-4) ≡ 2 (mod 23), 因此-11·5·11·13·17·19 ≡ (-11)·2 ≡ 1 (mod 23), 记f = -11·5·11·13·17·19. 可以知道n = 0a-b-3c+7d+7e-8f是一个满足条件的整数. n/(5·11·13·17·19·23) = 3/11+15/13-49/17-7/19+88/23 = 3/11+2/13+2/17-7/19-4/23+2 = (39+22)/143+2/17-7/19-4/23+2 = 1323/2431-7/19-4/23+2 = 8120/46189-4/23+2 = 2004/(11·13·17·19·23)+2. 于是n-2·5·11·13·17·19·23 = 5·2004 = 10020 < 5·11·13·17·19·23, 是满足条件的最小正整数.
李怡豪 2014-07-27 10:00:31
条件写为: 被5整除, 被5·11·13除余10, 被13·19除余140, 被17·23除余245, 被11·17除余109. 可以重写为: 被5整除, 被11除余10, 被13除余10, 被17除余7, 被19除余7, 被23除余15. 对于除数5, 11, 13, 17, 19, 23, 求被其中一个除余1, 同时被其它数整除的数. 11·13·17·19·23 ≡ 1·3·2·(-1)·(-2) ≡ 2 (mod 5), 因此3·11·13·17·19·23 ≡ 3·2 ≡ 1 (mod 5), 记a = 3·11·13·17·19·23. 5·13·17·19·23 ≡ 5·2·6·(-3)·1 ≡ -4 (mod 11), 因此-3·5·13·17·19·23 ≡ (-3)·(-4) ≡ 1 (mod 11), 记b = -3·5·13·17·19·23. 5·11·17·19·23 ≡ 5·(-2)·4·6·(-3) ≡ 5 (mod 13), 因此-5·5·11·17·19·23 ≡ (-5)·5 ≡ 1 (mod 13), 记c = -5·5·11·17·19·23. 5·11·13·19·23 ≡ 5·(-6)·(-4)·2·6 ≡ -5 (mod 17), 因此-7·5·11·13·19·23 ≡ (-7)·(-5) ≡ 1 (mod 17), 记d = -7·5·11·13·19·23. 5·11·13·17·23 ≡ 5·(-8)·(-6)·(-2)·4 ≡ -1 (mod 19), 因此-5·11·13·17·23 ≡ 1 (mod 19), 记e = -5·11·13·17·23. 5·11·13·17·19 ≡ 5·11·(-10)·(-6)·(-4) ≡ 2 (mod 23), 因此-11·5·11·13·17·19 ≡ (-11)·2 ≡ 1 (mod 23), 记f = -11·5·11·13·17·19. 可以知道n = 0a-b-3c+7d+7e-8f是一个满足条件的整数. n/(5·11·13·17·19·23) = 3/11+15/13-49/17-7/19+88/23 = 3/11+2/13+2/17-7/19-4/23+2 = (39+22)/143+2/17-7/19-4/23+2 = 1323/2431-7/19-4/23+2 = 8120/46189-4/23+2 = 2004/(11·13·17·19·23)+2. 于是n-2·5·11·13·17·19·23 = 5·2004 = 10020 < 5·11·13·17·19·23, 是满足条件的最小正整数.
李怡豪 2014-07-27 10:00:40
呵呵